练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知数列{an}满足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）

    （1）求数列{an}的通项公式；

    （2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·…·an＜2n！恒成立.

    （1）解:将条件变为1-=，因此{1-}为一个等比数列，其首项为1-，公比，从而1-=，据此得an=（n≥1）.①

    （2）证明：据①得a1·a2·…·an=要证a1·a1·…·an＜2n！只要证n∈N*时有（1-）（1-）…（1-）＞②

    显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有

    （1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）③

    用数学归纳法证明③式：a.n=1时，③式显然成立，

    b.设n=k时，③式成立，

    即（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+），

    则当n=k+1时，

    （1-）（1-）…（1-）（1-）≥〔1-（++…+）〕（1-）=1-（++…+）-+（++…+）≥1-（++…++），

    即当n=k+1时，③式也成立。故对一切n∈N*，③式都成立。

    利用③得（1-）（1-）…（1-）≥1-（+2+…+）==1-〔1-（）n〕=+（）n＞故②式成立，从而结论成立.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
    3+4an
    12-4an
    ， n∈N*    ．
    （1）若数列{bn}满足：bn=
    1
    an-
    1
    2
    (n∈N*)    ，试证明数列bn-1是等比数列；
    （2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
    （3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足
    1
    2
    a1+
    1
    22
    a2+
    1
    23
    a3+…+
    1
    2n
    an=2n+1    则{an}的通项公式
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=
    3
    2
    ，且an=
    3nan-1
    2an-1+n-1
    （n≥2，n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
    （1）若a1=
    54
    ，求an；
    （2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
    2n-1
    2n-1
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案