Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为

2

2

的动直线l与椭圆C交于不同的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且y₁y₂≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），可得a²=4²即可得出；
（2）设动直线l的方程为：y=

2

2

x+t．与椭圆的方程联立可得△＞0，及其根与系数的关系，再利用y₁y₂≥m恒成立及二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），∴a²=4²=16，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

2

=1；
（2）设动直线l的方程为：y=

2

2

x+t．
联立

y= 2 2 x+t x2 16 + y2 2 =1

，化为5y²-2ty+t²-8=0．
∵直线l与椭圆C交于不同的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴△=4t²-20（t²-8）＞0，化为t²＜10．
∴y₁y₂=

t2-8

5

，
∵y₁y₂≥m恒成立，∴(

t2-8

5

)min≥m，
∵t²＜10，∴

t2-8

5

≥-

8

5

．当且仅当t=0时取等号．
∴m≤-

8

5

．
∴实数m的最大值是-

8

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．