Question

（理）正数列的前项和满足：，常数

（1）求证：是一个定值；

（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；

（3）若数列是一个有理数等差数列，求．

 

Answer 1

【答案】

 

（理）证明：（1）                （1） 

       （2）

：     （3）

            （4）

                                                                      ……………4分

（2）计算                               ……………6分

根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，，，，，。。。。

当时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列          ……………8分

所以时，数列写出数列的前几项：，，，，，。。。。

所以当且时，该数列的周期是2，                               ……………9分

当时，该数列的周期是1，                                          ……………10分

（3）因为数列是一个有理等差数列，所以

 化简，

是有理数                          ……………12分

设,是一个完全平方数，设为，均是非负整数

时，                                                  ……………14分

时=可以分解成8组，其中

只有符合要求，                                                         ……………16分

此时                                           ……………18分

或者，                                                          ……………12分

等差数列的前几项：，，，。。。。

                                                               ……………14分

因为数列是一个有理等差数列

是一个自然数，                                                     ……………16分

此时                                     ……………18分

如果没有理由，猜想：，解答    得2分

                                          得2分

 

【解析】略