Question

已知函数f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x，
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由2^x-1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x=f（x），故该函数为偶函数． 
（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2^x＞2⁰=1且x＞0，故

1

2x-1

+

1

2

＞0，从而f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x ＞0．当x＜0时，-x＞0，故f（-x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．

解答：解：（1）该函数为偶函数．
由2^x-1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）
f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）=-（

2x

1-2x

+

1

2

）x
=（

2x

2x-1

-

1

2

）x=（

2x-1+1

2x-1

-

1

2

）x=（

1

2x-1

+

1

2

）x=f（x）（6分）
故该函数为偶函数．   …（7分）
（2）证明：任取x∈{x|x≠0}
当x＞0时，2^x＞2⁰=1且x＞0，
∴2^x-1＞0，
故

1

2x-1

+

1

2

＞0
从而f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x ＞0…（11分）
当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）＞0，…（12分）
又因为函数为偶函数，
∴f（x）=f（-x）＞0，…（13分）
∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．