Question

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由由消去y得，（2+3k²）x²+6kx+3k²-6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
解答：解：（I）根据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴=，
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；
（II）直线CD：y=k（x+1），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由消去y得，（2+3k²）x²+6kx+3k²-6=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，又A（-，0），B（，0），
∴
=（x₁+，y₁）•（-x₂．-y₂）+（x₂+，y₂）•（-x₁．-y₁）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²，
=6+=8，解得k=．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．