Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-n，知a₁=1，S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N⁺，故a_n=2a_n-1+1，a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N⁺，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=（2n+1）a_n+2n+1，知b_n=（2n+1）•2ⁿ，故T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，再由错位相减法能够得到数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-n，∴a₁=1，
∵S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N⁺，
两式相减，得a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N⁺，
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
∴b_n=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴①-②得：-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×

22(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查用构造求解数列的通项公式和利用错位相减法求解数列的前n项和，解题时要注意数列性质的灵活运用．