Question

已知函数f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）对于任意实数x∈[0，

π

4

]，恒有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）二倍角的正弦函数与余弦函数，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调减区间求解即可．
（2）通过x的范围求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，然后求出函数的最小值，即可推出m的范围．

解答：解 （1）因为f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)…（4分）
f（x）的单调递减区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)…（7分）
（2）因为x∈[0，

π

4

]，所以

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
所以

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1…．（11分）
要使f（x）＞m恒成立，所以m＜

1

2

．         …．（14分）

点评：本题考查二倍角公式、两角和的正弦函数的应用，函数的单调性，函数的最值恒成立的应用，考查计算能力．