Question

已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：4x²＋9y²＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C经过点A(2，－3)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ且点P的坐标为(，2)，求点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知C1：＋＝1得焦点(，0)，(，0)，又椭圆C与C1的焦点F1、F2、、是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点，∴F1、F2关于原点对称． 　　∴F1(0，)．故设C：＋＝1(a＞b＞0)． 　　∵椭圆C过点A(2，－3)， 　　∴＋＝1且a2－b2＝5．解出a2＝15，b2＝10． 　　∴椭圆C的方程为＋＝1． 　　(2)设Q(x0，y0)，则由OP⊥OQ，得kOP·kOQ＝·＝－1，即y0＝x0， 　　又＋＝1，∴3x02＋2(x0)2＝30，x0＝±3． 　　∴点Q的坐标为(3，)或(－3，)． 　　解析：本题要能够将题目中的对形的描述恰当地利用相关的性质转化为数，从而求解，涉及有关直线与椭圆的交点问题，往往联立它们的方程消去其中一个未知数，从而利用根与系数间的关系将问题解决．