Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若?n∈N^*，使T_n＜C成立，求实数C的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（II）利用（I）和裂项求和即可得出T_n．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，求出即可．
解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1+n=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．当n=1时也成立．
∴．
（II）∵=．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=…+
=
=．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，
∵n≥1，，即．
∴实数C的取值范围是．
点评：熟练掌握，裂项求和、及其等价转化等是解题的关键．