Question

已知a＞0且a≠1，设P：函数y＝log_a(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；Q：曲线y＝x²＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果P和Q有且只有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

答案：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a＞1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减． 　　曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞． 　　(1)若P正确，且Q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，因此a∈(0，1)∩([，1)∪(1，])，即a∈[，1)． 　　(2)若P不正确，且Q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点，因此，a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，即a∈(，＋∞)． 　　综上所述，a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)． 　　解析：利用对数函数与二次函数的单调性及简易逻辑，结合分类讨论的数学思想解答该题．