Question

已知
（1）当函数f（x）取得最小值时，求向量夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=（x-1）²-3，可得当x=1时，函数取得最小值为-3，此时，设向量夹角为θ，则由两个向量的夹角公式求得cosθ 的值．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，由此求得实数m的取值范围．
解答：解：（1）由题意可得=x（x-2）+1×（-2）=（x-1）²-3，故当x=1时，函数取得最小值为-3，
此时，设向量夹角为θ，则cosθ===．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，
解得 m≥1，或 m≤0，故实数m的取值范围是[1，+∞）∪（-∞，1]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，二次函数的性质，属于中档题．