Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n﹣1（n∈N₊）

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和T_n，求证：≤T_n＜1．

Answer 1

考点：

数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．

专题：

综合题．

分析：

（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项；

（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，证明是递增数列，即可证得结论．

解答：

（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2a₁﹣1，∴a₁=1

当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=（2a_n﹣1）﹣（2a_n﹣1﹣1），∴a_n=2a_n﹣1∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为2的等比数列，

∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n﹣1；

（2）证明：b_n==2（﹣）

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（）＜1

∵T_n+1﹣T_n=b_n+1=＞0

∴数列{T_n}是递增数列

∵T₁=

∴≤T_n＜1

点评：

本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．