Question

已知抛物线y²=2px，（p＞0）的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A，B，C为抛物线上相异三点．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若，求证：为定值；
（Ⅲ）若A，F，C三点共线，直线BF交抛物线于另一点D，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据抛物线y²=2px和焦点，准线方程：，焦点F到准线的距离为，即可求得p值；
（Ⅱ）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知，∵，求得x₁+x₂+x₃的值，进而利用抛物线的定义推断出=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）把x₁+x₂+x₃的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知，抛物线方程为：y²=3x，显然AC，BD都不垂直于坐标轴，设直线AC的方程为：，可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S_{四边形ABCD}运用基本不等式可确定答案．
解答：解：（Ⅰ）焦点，准线方程：，
∵焦点F到准线的距离为，即，
∴．
（Ⅱ）设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知，
∵，即，
∴，即，
由抛物线的定义：===．
（Ⅲ）由（1）知，抛物线方程为：y²=3x，
显然AC，BD都不垂直于坐标轴，
设直线AC的方程为：，
联立得：，
由韦达定理得，，
∴，
将上式中m用代换，得，
于是，=，
当且仅当m=±1时，上式取等号，故四边形ABCD面积的最小值为18．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识．考查了学生分析问题和解决问题的能力．本题是抛物线和直线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题一般作为高考的压轴题出现，要想解答正确，就必须对基础知识熟练掌握．