Question

11．如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=$\sqrt{6}$，E是棱PC的中点，过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点．
（1）若PM=$\frac{2}{3}$PB，PN=λPD，求λ的值；
（2）求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-$\sqrt{2}$，0），B （$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）由AN，AE，AM共面，$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+（2-2λ）y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）根据正四棱锥P-ABCD的对称性可知，当PM=PN时，P到面AMEN的距离最大，此时直线PA与平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距离最小，此时直线PA与平面AMEN所角最小．利用向量分别求出求解直线PA与平面AMEN所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-$\sqrt{2}$，0），B （$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{3\sqrt{2}}{2}，1）$，$\overrightarrow{AP}=（0，\sqrt{2}，2）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}=（\frac{2\sqrt{2}}{3}，\sqrt{2}，\frac{2}{3}）$．
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=（-\sqrt{2}λ，\sqrt{2}，2-2λ）$，
∵AN，AE，AM共面，∴$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{2}x}{3}-\sqrt{2}λy=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y}\\{1=\frac{2}{3}x+（2-2λ）y}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=y=\frac{3}{4}}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）根据正四棱锥P-ABCD的对称性可知，当PM=PN时，P到面AMEN的距离最大，此时直线PA与平面AMEN所角最大，
，P到面AMEN的距离最小，此时直线PA与平面AMEN所角最小．
①由（Ⅰ）知当PM=PN时，λ=$\frac{2}{3}$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{2\sqrt{2}}{3}，\sqrt{2}，\frac{2}{3}），\overrightarrow{AE}=（0，\frac{3}{2}\sqrt{2}，1）$，
设面AMEN的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\frac{3\sqrt{2}}{2}y+z=0$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{2}y+\frac{2}{3}z=0$取$\overrightarrow{m}=（0，\sqrt{2}，-3）$
设直线PA与平面AMEN所成角为θ，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{2\sqrt{66}}{33}$，
②当M在B时，因为AB∥面PDC，所以过AB，AE的面与面PDC的交线NE∥AB
设$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$是面ABEN的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}a+\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{3\sqrt{2}}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，-3）$
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}$＞|=$\frac{2\sqrt{78}}{39}$．
直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围为[$\frac{2\sqrt{78}}{39}$，$\frac{2\sqrt{66}}{33}$]

点评 本题考查了空间存在性问题，通过向量共面证明四点共面，及向量法求线面角，属于中档题．