Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-2a_n-34
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）根据等比数列的前n项和公式求出数列{S_n}的通项公式，然后解不等式即可．

解答：解：（1）当n≥2时，S_n-1=（n-1）-2a_n-1-34，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1
∴3a_n=2a_n-1+1，
即an-1=

2

3

(an-1-1)
又当n=1时，a₁=S₁=1-2a₁-34，
解得a₁=-11，则a₁-1=-12．
∴{a_n-1}是首项为-12，公比为

2

3

的等比数列．
（2）∵{a_n-1}是首项为-12，公比为

2

3

的等比数列．
∴an-1=-12•(

2

3

)n-1，
∴Sn=n-2[1-12•(

2

3

)n-1]-34=n+24•(

2

3

)n-1-36，
由S_n+1＞S_n得S_n+1-S_n＞0，
即[(n+1)+24•(

2

3

)n-36]-[n+24•(

2

3

)n-1-36]＞0
即：8•(

2

3

)n-1＜1，
解得n-1＞log

2

3

1

8

≈5.13，
∴使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n=7．

点评：本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，要求熟练掌握等比数列的定义和相关公式，考查学生的计算能力．