Question

椭圆的中心在原点O,短轴长为,左焦点为F(-c,0)(c＞0),相应的准线l与x轴交于点A,且点F分的比为3,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)若PF⊥QF,求直线PQ的方程.

Answer 1

解:(1)设=1,则c²+(3)²=a²,准线l:x=,?

由点F分的比为3，得-c=3c,?

解得a²=4,c=1,得椭圆方程为=1                                                                 ?

(2)设PQ：y=k(x+4),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),F(-1,0).??

∵PF⊥QF,?

∴(x₁+1)(x₂+1)+y₁y₂=0,?

即(x₁+1)(x₂+1)+k²(x₁+4)(x₂+4)=0,?

(1+k²)x₁x₂+(1+4k²)(x₁+x₂)+(1+16k²)=0,                                                                     ?

联立?

消去y得(3+4k²)x²+32k²x+64k²-12=0,?

∴x₁x₂=,x₁+x₂=-.                                                                        ?

代入化简得8k²=1.∴k=±.?

∴直线PQ的方程为y=(x+4)或y=-(x+4).