Question

已知z₁=x²+

x2+1

i，z₂=（x²+a）i，对于任意x∈R，均有|z₁|＞|z₂|成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：由|z₁|＞|z₂|可知，x⁴+x²+1＞（x²+a）²，整理可得（1-2a）x²+（1-a²）＞0对x∈R恒成立；分1-2a=0与1-2a≠0讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵|z₁|＞|z₂|，
∴x⁴+x²+1＞（x²+a）²，
∴（1-2a）x²+（1-a²）＞0对x∈R恒成立；
当1-2a=0，即a=

1

2

时，不等式成立；
当1-2a≠0，即a≠

1

2

时，

1-2a＞0 -4(1-2a)(1-a2)＜0

，解得-1＜a＜

1

2

；
综上，a∈（-1，

1

2

]．

点评：本题考查复数模的性质，着重考查不等式的解法，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．