Question

如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．

(1)求证：BC⊥BE；

(2)求正方形ABCD的边长；

(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AE是圆柱的母线底面BEFC，1分 　　又面BEFC，；2分 　　又ABCD是正方形 　　又面ABE 　　又面ABE；3分 　　(2)四边形为矩形，且ABCD是正方形EFBC 　　四边形EFBC为矩形 　　BF为圆柱下底面的直径；4分 　　设正方形ABCD的边长为，则AD＝EF＝AB＝ 　　在直角中AE＝2，AB＝，且BE2＋AE＝AB，得BE＝2－4 　　在直角中BF＝6，EF＝，且BE＋EF＝BF，的BE2＝36－2；6分 　　解得＝，即正方形ABCD的边长为；7分 　　(3)如图以F为原点建立空间直角坐标系，则A(，0，2)，B(，4，0)， 　　E(，0，0)，(，0，2)，(，4，0)，(，0，0)；9分 　　设面AEF的法向量为(，，)，则 　　令，则即(，，－)；11分 　　设直线与平面所成角的大小为，则 　　；12分 　　所以直线与平面所成角的正弦值为．13分