Question

求下列动圆圆心M的轨迹方程：

(1)与⊙C：(x＋2)²＋y²＝2内切，且过点A(2，0)；

(2)与⊙C₁：x²＋(y－1)²＝1和⊙C₂：x²＋(y＋1)²＝4都外切；

(3)与⊙C₁：(x＋3)²＋y²＝9外切，且与⊙C₂：(x－3)²＋y²＝1内切．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：设动圆M的半径为r．

　　(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，

　　∴|MC|＝r－，|MA|＝r，|MA|－|MC|＝．

　　∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有a＝，c＝2，b²＝c²－a²＝．

　　∴双曲线方程为2x²－＝1(x≤)．

　　(2)∵⊙M与⊙C₁、⊙C₂都外切，

　　∴|MC₁|＝r＋1，|MC₂|＝r＋2，

　　|MC₂|－|MC₁|＝1．

　　∴点M的轨迹是以C₂、C₁为焦点的双曲线的上支，且有a＝，c＝1，b²＝c²－a²＝．

　　∴所求的双曲线方程为4y²－＝1(y≥)．

　　(3)∵⊙M与⊙C₁外切，且与⊙C₂内切，

　　∴|MC₁|＝r＋3，|MC₂|＝r－1，|MC₁|－|MC₂|＝4

　　∴点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝2，b²＝c²－a²＝5．

　　∴所求双曲线方程为＝1(x≥2)．