Question

已知函数f(x)=(4-3a)x²-2x+a,其中a∈R,求f(x)在［0,1］上的最大值.

Answer 1

(1)当4-3a=0,即a=时,f(x)=-2x+为减函数.

所以f(x)在［0,1］上的最大值为f(0)=.

(2)当4-3a≠0,即a≠时,f(x)=(4-3a)(x-)²+a-,

此时函数图象的顶点坐标为(,a-).

①     当a>时,4-3a<0,f(x)的图象为开口向下的抛物线,且在［0,1］上递减,

∴f(x)_max=f(0)=a;

②当a≤时,0<≤,f(x)的图象开口向上且顶点横坐标在(0, )内,

∴f(x)_max=f(1)=2-2a;

③当<a≤1时,<≤1,f(x)的图象开口向上且顶点横坐标在(,1］内,

∴f(x)_max=f(0)=a;

④当1<a<时,>1,f(x)的图象开口向上,且f(x)在［0,1］上递减,

∴f(x)_max=f(0)=a.

综上知,a≤时,f(x)在［0,1］上的最大值为2-2a,a>时,f(x)在［0,1］上的最大值为a.