Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-1，

3

）.

m

=（

1

2

，cosx），

n

=（f（x），cos（x+α））．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）当

m

⊥

n

时，求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B为锐角，且f（B）=

3

2

，b=1，c=

3

，求a．

Answer 1

考点：余弦定理,数量积判断两个平面向量的垂直关系,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意，分别求出sinα、cosα和tanα的值，再代入式子求值；
（Ⅱ）由向量垂直的坐标条件列出方程，求出f（x）再利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化简，再由周期公式求出函数的周期；
（Ⅲ）把f(B)=

3

2

代入解析式化简求出角B，由余弦定理和题意列出关于a的方程求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为角α终边经过点P（-1，

3

），则|OP|=2，
所以sinα=

3

2

，cosα=-

1

2

，tanα=-

3

，
则sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

=

3

2

----（3分）
（Ⅱ）由

m

⊥

n

得，

1

2

f(x)+cosxcos(x+α)=0----（4分）
所以

f(x)=-2cosx(cosxcosα-sinxsinα)=-2cosx(- 1 2 cosx- 3 2 sinx)

-5 分
=cos2x+

3

sinxcosx=

1

2

(1+cos2x)+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)+

1

2

--（7分）
所以f（x）的最小正周期为π--------8 分
（Ⅲ）由f(B)=

3

2

得，sin(2B+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，
即sin(2B+

π

6

)=1，则2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），解得B=

π

6

--9 分
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB-----10 分
即 12=a2+

3

2-2

3

acos

π

6

，
解得，a=1或2---12 分

点评：本题考查了三角函数的定义，二倍角公式、两角和的正弦函数公式，以及余弦定理，正弦函数的周期等，涉及的知识点较多，难度不大，关键是熟练掌握公式并会应用．