Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n-n²,求数列{|a_n|}的前n项和T_n.

Answer 1

剖析:由S_n=12n-n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数(n∈N^*)，可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T_n.

解:当n=1时，a₁=S₁=12-1²=11;

    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-［12(n-1)-(n-1)²］=13-2n.

    ∵n=1时适合上式,

    ∴{a_n}的通项公式为a_n=13-2n.

    由a_n=13-2n≥0,得n≤，

    即当1≤n≤6(n∈N^*)时,a_n＞0;当n≥7时，a_n＜0.

    (1)当1≤n≤6(n∈N^*)时，

    T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=12n-n².

    (2)当n≥7(n∈N^*)时，

    T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|

    =(a₁+a₂+…+a₆)-(a₇+a₈+…+a_n)

    =-(a₁+a₂+…+a_n)+2(a₁+…+a₆)

    =-S_n+2S₆=n²-12n+72.

    ∴T_n=

讲评:此类求和问题先由a_n的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a_n}的求和问题.