Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a，PA=PC=a．

    （1）求证：PD^平面ABCD；

    （2）求异面直线PB与AC所成的角；

    （3）求二面角A-PB-D的大小；

Answer 1

答案：
解析：

如图：（1）证明：∵ PC=a，PD=DC=a，∴ DPDC是RtD，∴ PD^DC，同理，PD^DA．而AD∩DC=D，∴ PD^平面ABCD．     （2）解：连结BD，因为ABCD是正方形，∴ BD^AC．     又PD^平面ABCD，∴ BD是PB在平面ABCD上的射影．     由三垂线定理，得PB^AC．     PB与AC成90°角．     （3）解：设AC∩BD=O，作AE^PB于E，连结OE．∵ AC^BD．又PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD．∴ PD^AC．     而PD∩BD=D，∴ AC^平面PDB．     ∴ OE是AE在平面PDB上的射影．     由三垂线定理逆定理知OE^PB．     ∴ ÐAEO是二面角A-PB-D的平面角．     又AB=a，PA=a，PB=a．     ∵ PD^平面ABCD，DA^AB，∴ PA^AB．     ∴ ，∴ ．     故ÐAEO=60°．所以所求二面角A-PB1-D为60°．