Question

讨论函数y=()的单调性.

Answer 1

解法一:因为函数的定义域为(－∞,+∞),设x₁、x₂∈(－∞,+∞),且x₁＜x₂,

所以f(x₁)=(),f(x₂)=(),

==()

=().

当x₁＜x₂≤时,x₁+x₂＜3,

即有x₁+x₂－3＜0.

又因为x₁－x₂＜0,所以(x₁－x₂)(x₁+x₂－3)＞0,

()＜1.

又对于x∈R,f(x)＞0恒成立,

所以f(x₁)＜f(x₂).

所以函数f(x)在(－∞,］上单调递增.

同理,≤x₁＜x₂时,有f(x₁)＞f(x₂).

所以函数f(x)在［,+∞)上单调递减.

解法二:函数的定义域为R,令u=x²－3x,则y=()^u.

因为u=x²－3x=(x－)²－在［,+∞)上是增函数,在(－∞,］上是减函数,而y=()^u在定义域内是减函数,所以函数y=()在［,+∞)上为减函数,在(－∞,］上为增函数.

点评:对于指数函数的复合函数的单调性的证明问题仍然用定义法,即“取值——作差  ——变形——定号”.其中在定号过程中需要用到指数函数的单调性.对于其单调性的判断,一般用复合法,但应注意中间变量的取值范围.