Question

已知函数f(x)=2x³+ax与g(x)=bx²+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.

(1)求实数a、b、c的值;

(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间,并指出函数F(x)在该区间上的单调性.

Answer 1

解:(1)因为函数f(x)=2x³+ax与g(x)=bx²+c的图象都过点P(2,0),

    所以得a=-8.

    故f(x)=2x³-8x,f′(x)=6x²-8.

    又当x=2时,f′(x)=16,g′(x)=2b×2=4b,

    又因为4b+c=0,所以4b=16,得b=4,c=-16.

    所以g(x)=4x²-16.

     (2)因为F(x)=2x³+4x²-8x-16,所以F′(x)=6x²+8x-8.

    由F′(x)＞0,得x＜-2或x＞;

    由F′(x)＜0,得-2＜x＜.

    所以当x∈(-∞,-2)时,F(x)是增函数;

    当x∈［,+∞)时,F(x)也是增函数;

    当x∈［-2,］时,F(x)是减函数.