Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求A₁C与平面AB₁D₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）连结A₁C₁交B₁D₁于O₁，连结AO₁，由正方体的性质证出四边形AA₁C₁C是平行四边形，从而证出AOC₁O₁，得四边形AOC₁O₁是平行四边形，得C₁O∥AO₁，结合线面平行的判定定理即可得到C₁O∥面AB₁D₁；
（2）根据三垂线定理，由CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁和A₁C₁⊥B₁D₁证出A₁C⊥B₁D₁，同理证出A₁C⊥AB₁，从而可得直线A₁C⊥平面AB₁D₁，由此即可得到A₁C与平面AB₁D₁所成的角是90°．
解答：解：（1）连结A₁C₁交B₁D₁于O₁，连结AO₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁CC₁，
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∵O、O₁分别为AC、A₁C₁的中点
∴AOC₁O₁，可得四边形AOC₁O₁是平行四边形，得C₁O∥AO₁
∵C₁O?面AB₁D₁，AO₁?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁是斜线A₁C在平面A₁B₁C₁D₁内的射影
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C⊥B₁D₁，同理可得A₁C⊥AB₁
∵B₁D₁、AB₁是平面AB₁D₁内的相交直线，∴A₁C⊥平面AB₁D₁
由此可得A₁C与平面AB₁D₁所成的角是90°．
点评：本题在正方体中证明线面平行，并求直线与平面所成角的大小．着重考查了正方体的性质、线面平行和垂直的判定等知识，属于中档题．