Question

如图所示，海中小岛A周围55海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，船行40海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（参考数据，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：法一：过A作AE⊥BC于点E．在△ABC中，由正弦定理求出AC，然后求出AE，AE是否小于55，判断有无触礁的危险．
法二：过A作AE⊥BC于点E．在RT△ACE中，求出AE，AE是否小于55，判断有无触礁的危险．

解答：解：法一：过A作AE⊥BC于点E．
在△ABC中，BC=40，∠B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°，
∠BAC=180°-（30°+135°）=15° …（2分）
由正弦定理可知：

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠B

∴AC=

BC•sin∠B

sin∠BAC

=

40×sin30°

sin15°

=80•cos15°=80•cos(60°-45°)
=80•

6 + 2

4

=20(

6

+

2

)…（6分）
∴A到BC所在直线的距离  AE=ACsin45°≈20×（1.73+1）=54.6（海里）＜55海里…（10分）
∴小船继续向南航行有触礁的危险．…（12分）
法二：过A作AE⊥BC于点E．在△ABC中，BC=40，∠B=30°
在RT△ACE中，∠ACE=45°∴AE=CE，…（4分）
∴在RT△ACE中有

AE

BC+CE

=tan∠ABE，即

AE

40+AE

=

3

3

…（10分）
解得AE=

40 3

3- 3

=

40

3 -1

=20(

3

+1)≈54.6海里 …（10分）
∴A到BC所在直线的距离d＜55海里
∴小船继续向南航行有触礁的危险．…（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．