Question

2．已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是$[-\frac{4}{3}，0]$．

Answer 1

分析 以AB为直径圆的方程为：（x-1）（x-3）+y²=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，根据直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：以AB为直径圆的方程为：（x-1）（x-3）+y²=0，
把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，
∵直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，
∴△=（2k-4）²-16（1+k²）≥0，化为：3k²+4k≤0．
解得$-\frac{4}{3}≤k≤$0，
则k的取值范围是$[-\frac{4}{3}，0]$．
故答案为：$[-\frac{4}{3}，0]$．

点评 本题考查了直线与圆的方程、一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．