Question

9．对任意实数a，b，c，d，定义符号$（\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{ad-bc}（ad≥bc）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{bc-ad}（ad＜bc）}\end{array}\right.$，已知函数f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$，直线l：kx-y+3-2k=0，若直线l与函数f（x）的图象有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-1，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）
• B． （-1，$\frac{17}{24}$）
• C． （-1，$\frac{17}{24}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 函数f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-4}，x≥2或x≤-2}\\{\frac{1}{2}\sqrt{4-{x}^{2}}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，直线l：kx-y+3-2k=0过定点A（2，3），
①当-2＜x＜2时，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（椭圆上半部分），
②x≤-2或x≥2时，x²-y²=4（双曲线上半部分）．如图所示．
画出图象，依据图象求解．

解答 解：函数f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-4}，x≥2或x≤-2}\\{\frac{1}{2}\sqrt{4-{x}^{2}}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，
直线l：kx-y+3-2k=0过定点A（2，3），
①当-2＜x＜2时，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（椭圆上半部分），
②x≤-2或x≥2时，x²-y²=4（双曲线上半部分）．如图所示．
直线m与双曲线渐近线平行，直线l在直线m、n之间时满足条件，此时$\frac{3}{4}＜k＜1$，
直线e与双曲线渐近线平行，直线l在直线e、f之间时满足条件，此时
kx-y+3-2k=0代入椭圆方程可得：（1+4k²）x²+（24k-16k²）x+16k²-48k+32=0．
解得k=$\frac{2}{3}$
∵直线l：kx-y+3-2k=0与函数f（x）的图象有两个公共点，∴∴$-1＜k＜\frac{2}{3}$
综上所述，实数k的取值范围是（-1，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）．
故选A

点评 本题考查了函数图象交点的个数问题，依据椭圆、双曲线的性质，结合图象是解本题的有效办法，属于中档题．