Question

已知a，b∈R₊，a＋b＝1，求证：(a＋)(b＋)≥．

Answer 1

答案：
解析：

证明：设y＝ab＋，则(a＋)(b＋)＝ab＋＋＋≥y＋2(当a＝2时，取等号)，因此，只要证y≥即可． 　　设ab＝x，x∈(0，]，则y＝x＋，且y＝x＋在(0，]上为减函数． 　　∴当x＝时，ymin＝，此时a＝b＝， 　　∴ab＋≥， 　　∴(a＋)(b＋)≥． 　　思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a＋b，去括号后可以出现利用基本不等式的数学结构ab＋＋＋，但其中＋能用基本不等式，而ab＋不能用，“＝”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y＝x＋(x＝ab)，求最小值，这要求求ab＋的最小值用单调性法，而求＋的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a，b的值．