Question

证明2sin⁴x＋sin²2x＋5cos⁴x－cos4x－cos2x＝2(1＋cos²x)．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：用倍角公式将角统一成单角x， 　　左边＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－(2cos22x－1)－(2cos2x－1)＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－cos22x＋＋－cos2x＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－(2cos2x－1)2＋1－cos2x＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋cos4x＋3cos2x＝(2sin2x＋cos2x)(sin2x＋cos2x)＋3cos2x＝2＋2cos2x＝右边． 　　∴原式成立． 　　证法2：用半角公式降次，角统一为2x， 　　左边＝2()2＋(1－cos22x)＋5()2－(2cos22x－1)－cos2x＝3＋cos2x． 　　右边＝2(1＋)＝3＋cos2x， 　　∴左边＝右边． 　　∴原式成立． 　　思路分析：本题主要考查三角恒等式的证明问题，由于左边是单角、二倍角、四倍角的三角函数，右边是单角的三角函数；考虑用倍角公式，统一化为单角的三角函数；也可根据单角的三角函数是二次式，用半角公式降幂，统一化为二倍角的三角函数．

提示：

证明过程中要盯住结果采取降次升(角的)倍、升幂降(角的)倍等措施，注意升幂公式与降幂公式的特点，不能混淆．