Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）两点，曲线C上的动点P满足．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为6的椭圆，由引能够求出椭圆的方程．
（Ⅱ）方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可知A为MB的中点，由中点坐标公式结合题设条件能够求出直线l的方程．
方法二：依题意，设直线l的方程为y=kx+3．由得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得．再由根与系数的关系能够求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得＞|F₁F₂|=4，
故曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为．
（Ⅱ）方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可知A为MB的中点，
则有
将（3）、（4）代入（2）得，整理为．
将（1）代入上式得y₁=2，再代入椭圆方程解得，
故所求的直线方程为．
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，①．②
因为，所以A为MB的中点，从而x₂=2x₁．
将x₂=2x₁代入①、②，得，，
消去x₁得，
解得，．
所以直线l的方程为．
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意培养计算能力的、分析能力和解题能力．