Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=，AB=，PA=PD=1．
（I）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AD中点E，以AE为x轴，以过E点平行AB的直线为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明PA⊥CD．
（Ⅱ）分别求出平面CPA和平面PAD的法向量，利用向量法能够求出二面角C-PA-D的大小．
解答：解：（I）取AD中点E，以AE为x轴，以过E点平行AB的直线为y轴，以EP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=，AB=，PA=PD=1，
∴∠APD=90°，AE=BE=PE=，
∴A（，0，0），P（0，0，），C（-，，0），D（-，0，0），
∴，，
∴=0，∴，∴PA⊥CD．
（Ⅱ）∵A（，0，0），P（0，0，），C（-，，0），D（-，0，0），
∴，，，
设平面CPA的法向量为=（x₁，y₁，z₁），则•=0，=0，
∴，
∴=（1，0，1）．
设平面PAD的法向量为，则，
∴，
∴=（0，1，0），
设二面角C-PA-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=0，
∴二面角C-PA-D的大小为90°．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．