Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD
（1）证明：DC₁⊥BC
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明DC₁⊥BC，只需证明DC₁⊥面BCD，即证明DC₁⊥DC，DC₁⊥BD；
（2）证明BC⊥面ACC₁A₁，可得BC⊥AC取A₁B₁的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C₁O，C₁H，可得点H与点D重合且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角，由此可求二面角A₁-BD-C₁的大小．
解答：（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC₁⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC₁⊥BC
（2）解：∵DC₁⊥BC，CC₁⊥BC，DC₁∩CC₁=C₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，
∵AC?面ACC₁A₁，∴BC⊥AC
取A₁B₁的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C₁O，OH
∵A₁C₁=B₁C₁，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵面A₁B₁C₁⊥面A₁BD，面A₁B₁C₁∩面A₁BD=A₁B₁，
∴C₁O⊥面A₁BD
而BD?面A₁BD
∴BD⊥C₁O，
∵OH⊥BD，C₁O∩OH=O，
∴BD⊥面C₁OH∴C₁H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角
设AC=a，则，，
∴sin∠C₁DO=
∴∠C₁DO=30°
即二面角A₁-BD-C₁的大小为30°
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．