Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点（不是顶点），△PF₁F₂内一点G满足3

PG

=

PF1

+

PF2

，其中

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若椭圆C短轴长为2

6

，过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），求△F₁AB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据3

PG

=

PF1

+

PF2

，可得G是△PF₁F₂的重心，利用三角形的重心坐标公式，确定G与P坐标之间的关系，利用∵为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，即可求得椭圆C的离心率；
（II）先求出椭圆方程为

x2

8

+

y2

6

=1，假设直线l：x=my+

2

，两者联立，利用韦达定理，可表示出三角形的面积，再借助于函数的单调性，即可求得△F₁AB面积的最大值．

解答：解：（I）∵

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)，
∴G(

1

9

a，

6

9

a)
∵3

PG

=

PF1

+

PF2

，
∴G是△PF₁F₂的重心
设P（x₀，y₀），则有

1 9 a= x0 3 6 9 a= y0 3

，∴

x0= 1 3 a y0= 6 3 a

∵P为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点
∴

a2

9a2

+

6a2

9b2

=1
∴3a²=4b²
∵b²=a²-c²
∴4c²=a²
∴e=

1

2

∴椭圆C的离心率为

1

2

；
（II）∵若椭圆C短轴长为2

6

，∴b=

6

∵4c²=a²，∴4（a²-b²）=a²
∴a²=8，∴c=

2

∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

6

=1
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my+

2

由

x2 8 + y2 6 =1 x=my+ 2

，消去x，可得(3m2+4)y2+6

2

my-18=0
∴

y1+y2=- 6 2 m 3m2+4 y1y2=- 18 3m2+4

∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y2-y1|=

24 m2+1

3m2+4

=

24

3 m2+1  + 1 m2+1

≤

24

4

=6
当且仅当m=0时取等号，
∴△F₁AB面积的最大值为6．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，解题的关键是利用向量知识，确定几何量的关系，利用直线与椭圆的联立，借助于韦达定理，确定三角形的面积．