Question

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．

求证：l⊥α

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中， ∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC， ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB， ∵ ∴ AB⊥平面POD ∵ PO平面POD． ∴ PO⊥AB． 同理可证  PO⊥BC ∵ ，， ∴ PO⊥α，即l⊥α 若l不经过O时，可经过O作∥l．用上述方法证明⊥α， ∴ l⊥α． 证法二：采用反证法 假设l不和α垂直，则l和α斜交于O． 同证法一，得到PA = PB = PC． 过P作于，则，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的． ∴ 假设l不和α垂直是不成立的． ∴ l⊥α 若l不经过O点时，过O作∥l，用上述同样的方法可证⊥α， ∴ l⊥α