Question

设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值．
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据导数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间进而求出极值点．
（2）将（1）中所求的导函数f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等关系式，再由函数f'（x）的单调性求出最值可得解．
解答：解：f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a由表


可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数，当x∈（3a，+∞）时．函数f（x）也为减函数；
当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．
当x=a时，f（x）的极小值为时，f（x）的极大值为b．
（2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上为减函数．
∴[f'（x）]_max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]_min=f'（a+2）=4a-4．
于是，问题转化为求不等式组的解．解得．又0＜a＜1，∴．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．