Question

已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)，点P满足，记点P的轨迹为E．

(1)求轨迹E的方程；

(2)若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．

(ⅰ)无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

(ⅱ)过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c＝2，2a＝2，∴b2＝3，故轨迹E的方程为．……3分 　　(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0， 　　∴，解得k2＞3……5分 　　(ⅰ)∵ 　　＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2) 　　＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2 　　＝．……7分 　　∵MP⊥MQ，∴， 　　故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0对任意的k2＞3恒成立， 　　∴，解得m＝－1． 　　当m＝－1时，MP⊥MQ．当直线l的斜率不存在时，由P(2，3)，Q(2，－3)及M(－1，0)知结论也成立，综上，当m＝－1时，MP⊥MQ．……8分 　　(ⅱ)∵a＝1，c＝2，∴是双曲线的右准线……9分 　　由双曲线定义得：，， 　　方法一：∴ 　　．……10分 　　∵k2＞3，∴，故，……11分 　　注意到直线的斜率不存在时，，此时，， 　　综上，．……12分 　　方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点， 　　∴，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则， 　　∴．……10分 　　由得，，故．……12分