Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）哪些棱所在直线与直线AB₁是异面直线？
（2）求异面直线DB₁与CB所成角的余弦值
（3）求证：C₁O∥平面AB₁D₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，O是底ABCD对角线的交点，则棱CB、CD、CC₁、D₁A₁、D₁D、D₁C₁所在直线与直线AB₁是异面直线．
（2）设正方体的棱长为1，先找出异面直线DB₁与CB所成角为∠B₁DA （或其补角）．△B₁DA 中，由余弦定理可得cos∠B₁DA 的值，即可求得异面直线DB₁与CB所成角的余弦值．
（3）设A₁C₁∩B₁D₁=M，证明四边形AOC₁M为平行四边形，故有C₁O∥AM．再根据直线和平面平行的判定定理证得C₁O∥平面AB₁D₁．
解答：解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，O是底ABCD对角线的交点，则棱CB、CD、CC₁、D₁A₁、D₁D、D₁C₁所在
直线与直线AB₁是异面直线．
（2）设正方体的棱长为1，根据DA∥CB，可得异面直线DB₁与CB所成角为∠B₁DA （或其补角）．
△B₁DA 中，由于DA=1，DB₁=，AB₁=，则由余弦定理可得cos∠B₁DA=
==，
故异面直线DB₁与CB所成角的余弦值为．
（3）设A₁C₁∩B₁D₁=M，则由正方体的性质可得 AO和C₁M平行且相等，故四边形AOC₁M为平行四边形，
故有C₁O∥AM．
再由AM在平面AB₁D₁内，而CO不在平面AB₁D₁内，∴C₁O∥平面AB₁D₁． （3分）
点评：本题主要考查异面直线的判断、异面直线所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．