Question

已知数列{a_n}满足a₀=1,a_n=a₀+a₁+…+a_n-1(n≥1),则当n≥1时,a_n等于(    )

A.2ⁿ                    B.          C.2^n-1             D.2ⁿ-1

Answer 1

C

解析:方法一:由已知a_n=a₀+a₁+…+a_n-1(n≥1)且a₀=1,

得到a₁=a₀=1=2^1-1,

a₂=a₀+a₁=2=2^2-1,

a₃=a₀+a₁+a₂=4=2^3-1,

a₄=a₀+a₁+a₂+a₃=8=2^4-1.

由此猜想出a_n=2^n-1(n≥1).

方法二:由a_n=a₀+a₁+…+a_n-1(n≥1),

得a_n+1=a₀+a₁+…+a_n-1+a_n.

∴两式相减得a_n+1-a_n=a_n.∴a_n+1=2a_n.∴=2(n≥1).

∴该数列{a_n}为一等比数列(n≥1),其中a₁=a₀=1.

∴当n≥1时,a_n=2^n-1.