Question

16．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-2ax+3}）$．
（1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）值域为R，求实数a的取值范围；
（3）是否存在a∈R，使f（x）在（-∞，2）上单调递增，若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义，真数大于0，即可求出a的范围．
（2）f（x）的值域为R，也可以说u（x）=x²-2ax+3取遍一切正数，问题得以解决．
（3）根据复合函数、对数函数和二次函数的单调性即可得出u（x）在（-∞，2）递减，且u（x）_min＞0，从而得出不存在a使f（x）在（-∞，2）上单调递增．

解答 解：令u（x）=x²-2ax+3，
（1）f（x）定义域为R，则u（x）＞0恒成立，$⇒△＜0⇒-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$，
（2）f（x）值域为R，则u（x）能取遍（0，+∞）的所有实数，$⇒△≥0⇒a≤-\sqrt{3}$或$a≥\sqrt{3}$，
（3）f（x）在（-∞，2）上递增，则u（x）在（-∞，2）递减，且u（x）_min＞0$⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{u{{（x）}_{min}}＞u（2）≥0}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≤\frac{7}{4}}\end{array}⇒a∈∅}\right.}\right.$，所以不存在这样的实数a．

点评 本题主要考查了对数函数的定义和二次函数的性质，复合函数的定义，对数函数的单调性．属于中档题．