Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点.

（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

（3）求DB与平面DEF所成角的大小.

Answer 1

解法一：（1）取BD的中点O，连结FO、OE.

∵AE=EB，OE∥AD,

又∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.

∵FP=FB,∴FO∥PD.                                                       

∵PD⊥底面ABCD,∴FO⊥底面ABCD.

∴EF⊥CD（三垂线定理）.                                                 

（2）答：G是AD的中点.                                                  

取PC的中点H，连结DH.

∵PD=DC,∴DH⊥PC.又∵BC⊥平面PDC,

∴BC⊥DH.∴DH⊥平面PCB.

取DA的中点G，连结GF、FH.

∵HFBCDG,

∴四边形DGFH为平行四边形.

∴DH∥GF.∴GF⊥平面PCB.                                              

（3）∵V_B-DEF=V_F-DEB,

∴S_△DEF·d=S_△DEB·FO.                                              

设底面边长为a,则FO=a,S_△DEB=a²,EF=AP=,DF=PB=a,

DE=a.

∵EF²+DF²=a²+a²=a²=DE²,∴∠DFE=90°.                           

∴S_△DEF= a².

∴a²·d=a²·ad=a.

设DB与平面DEF所成角为θ,则sinθ==.

∴DB与平面DEF所成角为arcsin.                                      

解法二：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则

D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E（a,,0）、F(,,)、P(0,0,a).

（1）·=（-,0,）·(0,a,0)=0,

∴EF⊥DC.                                                             

（2）设G(x,0,z),则G∈平面PAD.

=(x-,-,z-),

·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,x=.

·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)

=+a(z-)=0,z=0.

∴G点坐标为（,0,0）,即G点为AD的中点.                             

（3）设平面DEF的法向量为n=(x,y,z).

由

得

即

取x=1,则y=-2,z=1.

∴n=(1,-2,1).

cos〈,n〉==.

∴DB与平面DEF所成角大小为-arccos(即arcsin).