幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一簇美丽的曲线，如图所示，设点，连接，线段恰好被其中两个幂函数图像三等分，即有，那么=___▲___.

定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则___▲___.

??? ??.

已知函数的定义域为集合，指数函数 （＞0且≠1）（）的值域为集合；

（1）若，求；

（2）若=，求实数的值．

已知函数（为实常数）

（1）若，求的单调区间；

（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式．

某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线。当时，曲线是二次函数图象的一部分，其中对称轴为；当时，曲线是函数图象的一部分。根据专家研究，当注意力指数大于或等于80时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；

（2）老师在什么时间段内安排核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．

若定义在R上的函数对任意的，都有

成立，且当时，．

(1)求的值；（2）求证：是R上的增函数；

(3) 若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

在中，满足,是中点.

（1）若,求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；

（3）若点是边上一点，且,，,求的最小值.

已知，函数．

（1）求的单调区间和值域；

（2）设，若，总，使得成立，求的取值范围；

（3）对于任意的正整数，证明：．

已知为等差数列，，，则___________．