若一直线与抛物线y²＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线方程．

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与＝(3，－1)共线．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设M为椭圆上任意一点，且(λ，μ∈R)，证明λ²＋μ²为定值．

椭圆的长轴为AB，P为椭圆上任一点，引AQ⊥AP，BQ⊥BP，AQ与BQ的交点为Q，求点Q的轨迹．

已知双曲线C的两个焦点为F₁，F₂，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过F₂点，且与线段F₁F₂夹角为α，且tanα＝，l与线段F₁F₂垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．

公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA＝1.25米．安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米．如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

如图所示，已知点A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在抛物线y²＝2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2)求线段BC中点M的坐标；

(3)求BC所在直线的方程．

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e＝．

(1)求椭圆方程；

(2)设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求证：∠ATM＝∠AF₁T．

根据已经学习过的圆锥曲线的相关知识，给出能确定椭圆＝1(a＞b＞0)的多种不同条件．

中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴交于点A，且OF＝3OA．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．

(1)求双曲线的方程及离心率；

(2)若＝0，求直线PQ的方程．