Question

如图所示，已知点A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在抛物线y²＝2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2)求线段BC中点M的坐标；

(3)求BC所在直线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由点A(2，8)在抛物线y2＝2px上，有 　　82＝2p·2，解得p＝16． 　　所以抛物线方程为y2＝32x，焦点F的坐标为(8，0)； 　　(2)如图，由F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且＝2，设点M的坐标为(x0，y0)，则＝8，＝0， 　　解得x0＝11，y0＝－4　所以点M的坐标为(11，－4)； 　　(3)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴． 　　设BC所成直线的方程为y＋4＝k(x－11)(k≠0)， 　　由消x得ky2－32y－32(11k＋4)＝0， 　　所以y1＋y2＝，由(Ⅱ)的结论得＝－4，解得k＝－4， 　　因此BC所在直线的方程为y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0． 　　分析：本题第一问，只要利用点A(2，8)的抛物线y2＝2px上，从而确定；第二问，利用三角形的重心所具有的性质不难得知；第三问，利用已知以及前两个问题得到的结论，从而得到直线BC的方程．