已知i，m，n是正整数，且1< i ≤ m < n．

（1）证明 ；

（2）证明 (1+ m )ⁿ > (1 + n )^m．

求证：当n∈N，n≥2时，

．

已知a，b，c∈R，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证a，b，c全是正数．

设函数f ( x ) = tan x，．已知x₁，x₂∈，且x₁≠x₂，求证．

已知a，b，c是不等正数，且abc = 1，求证：．

已知a，b，c∈R，求证：

．

已知a，b，c∈R⁺，求证：

对于函数y＝f（x）（x∈D，D是此函数的定义域）若同时满足下列条件：

　　（Ⅰ）f（x）在D内单调递增或单调递减；

　　（Ⅱ）存在区间[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么，把y＝f（x）（x∈D）叫闭函数．

　　（1）求闭函数y＝符合条件（Ⅱ）的区间[a，b]；

　　（2）判断函数f（x）＝（x∈）是否为闭函数?并说明理由；

　　（3）若y＝是闭函数，求实数k的取值范围．

设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）·f（y）．

　　（Ⅰ）求证：f（0）＝1；

　　（Ⅱ）求证：f（x）在R上是增函数；

　　（Ⅲ）设集合A＝{（x，y）|f（）·f（）＜f（1）}，B＝{（x，y）|f（x＋y＋c）＝1，c∈R}，若AB＝，求c的取值范围．

设函数f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）·f（n）＝f（m＋n），且当x＜0时，f（x）＞1．

（Ⅰ）证明（1）f（0）＝1；

　　　　  （2）当x＞0时，0＜f（x）＜1；

　　　　  （3）f（x）是R上的减函数；

（Ⅱ）如果对任意实数x、y，有f（）·f（）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．