已知如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离.

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

（Ⅰ）求截面EAC的面积；

（Ⅱ）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

（Ⅲ）求三棱锥B₁－EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

（Ⅰ）证明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（Ⅲ）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

在直角梯形ABCD中，如图，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB＝a（如图（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ．

（Ⅰ）若二面角α—AC—β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC—γ的大小；

（Ⅱ）若二面角α—AB—β为60°（如图（3）），求三棱锥D′—ABC的体积．

如图，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.

（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；

（Ⅱ）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜＝，求四面体MABC的体积.

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；

（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.

已知椭圆如图，＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|².当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.