科目： 来源：数学教研室 题型：044

若n∈N，x>0，求证：。

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已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：(a+)²+(b+)²+(c+)²≥。

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定义：若对于给定区间D内任意的实数x₁和x₂都有f()≥[f(x₁)+f(x₂)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：

若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），则凸n边到P₁P₂P₃…P_n的生心G（，）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。

运用上述定义或性质证明。

（1）f(x)=lgx在区间（0，+∞）上是上凸函数；

（2）设x₁，x₂，…，x_n为正实数，则≥。

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若m，n∈N^*，m<n，求证：(1+)^m<(1+)ⁿ。

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设0<θ<π，求函数y=(1+cosθ)sin的最大值。

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已知函数f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+)，其中实数m>1，求证：f(x)的最小值不小于1。

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若=1，（x>0，y>0，常数a，b>0且a≠b），求x+y的最小值。

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求函数y=x²(2－5x)(0<x<)的最大值。