设抛物线y=x²过一定点)，P(x, y)是抛物线上的动点.

（I）将表示为关于x的函数f(x)，并求当x为何值时，f(x)有极小值；

（II）设（I）中使f(x)取极小值的正数x为x₀，求证：抛物线在点P_0­(x₀, y₀)处的切线与直线AP₀垂直.

    已知函数、b为常数）的图象经过点和Q（4，8）.

   （I）求函数f(x)的解析式；

   （II）记,n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，求.

    已知函数g(x)=(2－x)³－a(2－x)，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x－1＝0对称.

    (1)求f(x)的表达式；

    (2)若f(x)在区间［1，＋∞］上是单调增函数，求实数a的取值范围；

    (3)记h(x)＝f(x)+g(x)，求证：当x₁，x₂∈(0，2)时，|h(x₁)－h(x₂)|＜12|x₁－x₂|.

    如下图，已知△ABC的三边分别为a,b,c，A为圆心，直径PQ=2r，问P,Q在什么位置时，有最大值？

    已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意自然数n，均有(b_n+1－b_n+2)log₂a₁+(b_n+2－b_n)log₂a₃+(b_n－b_n+1)log₂a₅=0成立，又b₁=t,b₇=13t(t∈R,且t≠0).

    (1)求数列{b_n}的通项公式；

    (2)设，若S_n表示数列{b_n}的前n项和，T_n表示数列{c_n}的前n项和，求.

由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点，如此进行下去，得到点列

　　   求：（Ⅰ）的关系式；

　　　　    （Ⅱ）数列的通项公式；

　　    （Ⅲ）当时，的极限位置的坐标.

某旅游地有甲乙两个相邻景点，甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团 . 现甲乙两景点各有一个外国旅游团交换景点观光.

（Ⅰ）求甲景点恰有2个美国旅游团的概率；

（Ⅱ）求甲景点内美国旅游团数的期望.

甲、乙两支足球队经过加时赛后比分仍为0：0，现决定两队各派5名队员，每人各射一个点球以决胜负.如果这10名队员每人点球的命中率均为（相互独立）.

（I）求：甲队5名队员连续有3人射中，另外2人未射中的概率；

（II）两队各射完5个点球后，比分为3：3的概率.

甲、乙两支足球队经过加时赛后比分仍为0：0，现决定两队各派5名队员，每人各射一个点球以决胜负.如果这10名队员每人点球的命中率均为（相互独立）.

（I）求：甲队5名队员连续有3人射中，另外2人未射中的概率；

（II）如果命中一个点球记1分，没有命中点球记0分，试写出乙队射完5个点球后所得总分的概率分布列，并求出的期望.

    已知函数在上最小值是。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）证明：；

    （III）在点列中是否存在两点，使直线的斜率为1？若存在，求出所有的数对（i，j）；若不存在，请说明理由。