设动点P到两定点F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ＝λ．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)如图，过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点．问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

已知函数在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点．

(Ⅰ)求a²－4b的最大值；

(Ⅱ)当a²－4b＝8时，设函数y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若在点A处穿过y＝f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y＝f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式．

如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A₁处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₁处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃·a₄＝117，a₂＋a₅＝22．

①求通项a_n．

②若数列{b_n}是等差数列，且b_n＝，求非零常数c．

③若{b_n}的前n项和为T_n，求证：2T_n－3b_n－1＞．

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0．{a_n}中的部分项组成下列数列，a_k1，a_k2，…a_kn恰为等比数列，其中k₁＝1，k₂=5，k₃＝17．

(1)求k_n．

(2)求k₁＋k₂＋…＋k_n．

双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴交于点A，且|OF|＝3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．

(Ⅰ)求双曲线的方程及离心率；

(Ⅱ)若，求直线PQ的方程．

已知双曲线，B是右顶点，F是右焦点，点A在x正半轴上，且满足成等比数列．过F作双曲线C在一三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．

(1)求证：；

(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点D，E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

已知：＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－．求cos2α和cos2β的值．